想到备《交换律》一课，实为事出有因。

一次， 某教研活动中有老师执教《加法运算律》一课。为了了解学生真实的数学思维，我选择了离学生最近的一个座位，自始至终参与了其中两个小组学生的数学活动，并对他们的交流过程、作业状况以及思维动态进行了近距离的观察与把握。

无疑， 从教学的整体线索与流程来看，执教者显然对于新的数学课程理念有着较为准确的把握，并且，这种理念也因为教师精心设计的数学活动，而得到了表面上很好的落实。比如，教师由一个具体的实际问题引入，并通过组织学生计算、观察、比较、分析，使他们发现，两个数相加，交换它们的位置，和不变。进而，教师进一步引导学生由这一“特殊的个例”展开由特殊到一般的推进，帮助学生形成了“是不是任意两数相加，交换它们的位置，和都不变”的猜想。最终，在教师的精心引导下，学生通过举出各种各样的例子，借助不完全归纳法获得了最终的结论。加法结合律的教学结构与此类似。

那么，上述遵循“ 猜想———实验———验证”的教学线索，如何又给我留下了“表面上很好落实”的印象呢？这一判断的获得，恰恰因为我与孩子们的“ 零距离”接触。

清晰地记得，当教学行进至“举例验证猜想”这一环节时，坐在我身边的学生中出现了一些很有意思的现象。遗憾的是，这些现象显然都没有为执教者所关注，更没能成为他藉此改变教学线索的契机。

先是在举例过程中，出现了一段小插曲：

当生A 试图通过计算来判断28+56 是否等于56+28 时，却遭到了生B 的嘲笑：“太笨了吧，有必要这么麻烦吗？ 你看我，举的例子又简单又快。”我扭头一看，呵，还真是又快又多。在生B 的作业本上， 赫然写着一长串等式：1+2=2+1、2+3=3+2、1+4=4+1、2+4=4+2、5+3=3+5、1+6=6+1……生A 恍然大悟，或许是受了启发，在不到半分钟的时间内，也很快举出了一串长例子：5+6=6+5、3+8=8+3、1+7=7+1……我愕然。

小组中的第三位同学生C 显然没有受他们俩对话的干扰，正按照自己的方式在举例。之所以作出这样的判断，是因为我在他的作业本上看到了这样两个等式：76+28=28+76、341+87=87+341，心里不免有些庆幸。然而，当我看完他所举的第三个例子，却又再次愕然。原来，在生C的理解里，举例的过程就是一个“依葫芦画瓢”的过程。只见他不慌不忙、沉着冷静地在作业本上正按从左到右的顺序依次书写下：“872”、“+”、“396”、“=”、“396”、“+”、“872”。

“左右两边相等，你算了吗？ ”见此情形，我试探性地问了他一个问题。

“没有。”他回答得同样干脆。

“可是，不计算，你怎么就知道左右两边相等呢？ ”

“应该会相等的。”

“那万一不相等呢？ ”

“这……”

交流的过程中，依然有一些小小的插曲：

当十多位同学将自己所举的例子板书在黑板上后，教师作了如下引导———

师：像这样，交换两个加数的位置，和不变的例子，我们还能再举出一些吗？

生：能！ 还能举出许多个。

师：有了这么多例子，现在，我们能说，交换两个加数的位置，和不变了吗？

生：能！

师：这就是加法的交换律。

可就在这里，在我后面的某个角落里，分明传来了一个小小的声音： “ 举再多的例子也不行，万一再举一个例子就不行了呢？ ”无疑，作为一个四年级学生发出这样的困惑， 是再自然不过的。更进一步讲，困惑的提出恰恰说明，他正在认真而严肃地思考着这样一个由不完全归纳法而引发的问题。然而，执教者显然又一次与这样的质疑擦肩而过。当然，作为一种推想，更重要的问题是，如果执教者听到了这样的质疑声，他又会怎么想、怎么对待，进而又会作出怎样的处理呢？

无疑，作为一个旁观者，我所观察、倾听到的这些课堂真实，是我以前所并不了解的。事实上，不仅仅是在加法运算律这一课上，我们需要用到不完全归纳法，在以往的很多数学内容的学习过程中，我们都在自觉不自觉应用着这种数学方法。现在回想起来，我们是不是对这一方法缺乏一些深入的思考？ 并且，对于一个四年级学生，他们面对不完全归纳法时可能会有一个怎样的真实思维水平与方向，我们似乎也缺乏一些深入的关注与了解。

于是， 一个很自然的想法水到渠成地产生了：如果我来上这节课，我又该作出怎样的解读？进而，在具体的教学线索的设计上，我又该作出哪些有效的调整，以适应学生真实的思维需求？这就是我决定自己来尝试这一堂课的真实心路历程。

对我而言，这是一堂因“问题驱动”而诞生的数学课，也是一堂在某种意义上具有“探索性与研究性”的数学课。作出这样的论断，是因为这堂课从备课之始，就始终与一些具体的问题相伴相随———

仅凭一个具体的富有某种结构特征的案例（比如，3+4=4+3）， 学生会不会自然而然地生发出某种猜想？ 如果能，形成这种由具体、特殊而至于一般、普遍的猜想，学生会经历怎样的思维过程？

当构成某种猜想后，学生会不会自然而然地形成“我再举几个例子来试试”的认知倾向性？

学生知道举例的必要性吗？ 为什么要举例？

究竟怎样的过程才是真正意义上的举例？

举多少例子才是合适的？ 五个？ 十个？ 一百个？ 抑或更多？如果你觉得十个例子足以，当学生提出，万一“第十一个例子”不符合猜想，怎么办？我们又该如何去面对这一质疑？

例子越多越好吗？ 例子越简单越好吗？ 加法交换律是一个全称性判断，而我们现在所涉及的加法运算只是局限在整数领域，有没有必要引导学生由整数运算领域向小数、分数运算领域推进？进而，从教学法的角度来看，我们有没有必要让学生意识到这一问题对于结论可靠性的意义与价值？

需不需要提及反例？ 需要和学生探讨反例在不完全归纳法中的重要性吗？如果需要，反例多少个算合适？

从科学的角度来看， 不完全归纳法所得到的，本质上仍然只能算一个猜想，是可能被证伪的，还需要通过证明来获得确认，成为一个可靠的结论。那么，像加法交换律这样的结论，需要借助证明吗？如何来证明？

最后，从教学实践的角度来看，我们应该将加法交换律与加法结合律放在一起进行教学，还是应该由加法交换律引申开去，进一步去探索其它运算中是否也存在交换律？ 具体的数学知识的教学， 与内涵在知识学习过程中的数学方法， 哪一个才是数学教学更应该重点关注的问题？

事实上，最终教学线索的确立，恰恰是源自于对上述问题的系统思考。并且，实践过程中，这样的教学线索，也的确曾给我带来过相当深刻的教学高峰体验。

2006 年，华南师范大学附属小学。你或许很难想像，一群三年级学生竟会在课堂上和我展开了这样的思维与精神的双重博弈：

师：同学们刚才举出了各种各样的例子。现在，有了这些例子，我们能够说，任意两数相乘，交换它们的位置，积不变吗？

生：能！

就在这时，有学生向我提出质疑———

生：老师，我觉得不能！ 因为我们刚才所举的都是整数相乘的例子，可是小数和小数相乘，我们还没有学过。会不会小数相乘，交换它们的位置积变了呢？

生：是的，负数也是一种数。而且据我所知，负数和负数相乘，交换它们的位置，积就会发生变化。

师：是吗？ 你是从哪儿知道的？

生：是我爸爸告诉我的。（笑）

师：同学们能有这样的想法，老师感到很高兴。这说明大家已经对这一问题有了更深刻的认识与把握。的确，小数乘小数、负数乘负数，包括更多的我们还没有接触到的数，它们相乘，交换位置后，积还会不变吗？就目前看来，我们还不知道。不过，结论总是要下的，不然，我这节课，可就下不了了。同学们，你们觉得该怎么办呢？

生：可以不下结论。等我们学会这些数后，再下也不迟。（笑）

师：那可不行。要不这样，我先把这一结论写下来，比如，“任意两数相乘，交换它们的位置，积不变。”然后再在这一结论后面加上一个问号，你们看行吗？

生：不行！ 这样还是说明这个结论是成立的。可我们现在觉得它可能不成立。（笑）

师：那要不这样，我就干脆这样写：“任意两数相乘，交换它们的位置，积不变？ ”这样总可以了吧？

生：还是不行。（笑）

师：那你们说，我这结论到底该如何下？

生： 我觉得， 如果非要下一个结论的话，那么，你可以这样来写：“任意两数相乘，交换它们的位置，目前看来，积基本上不变。”（全场爆笑）

或许，有人会把上述片段看作是我数学课堂上的一次“遭遇战”。在我看来，这恰是我多年来数学教学中难得的一次高峰体验。因为，透过学生的质疑与坚持，我看到的是学生思维的逻辑严密性，以及学生对真理的坚守。而这，相对于具体的数学知识与技能而言，无疑显得更有价值，也更为重要。

当然，更让我感到欣慰的是，学生此时的坚守，恰恰折射出前半段教学设计（加法交换律的教学）中我所着力渗透的有关数学方法论的内容，已经为学生所很好地理解、内化并接受。对我而言，这无疑是一种利好的信号。

但是，随着教学实践的不断推进，当这堂课在越来越多的场合进行尝试与研究时，它所内蕴着的问题也渐渐暴露了出来。尤其是，类似下面的质疑声随着学生课堂上的一次次集体性沉默而为越来越多的听课老师所提出， 那就是：“面对一群四年级学生，我们有没有必要对数学内容进行如此纵深的开掘与拓展？ ”“我们需不需要在四年级时就给学生呈现如此全面、科学、完整的不完全归纳法？ ”“数学知识与方法的学习，究竟应该是一步到位，还是允许其有一个由浅入深、由表及里、逐层深入、螺旋上升的过程？ ”

面对这样的质疑，如果说，最初的我依然可以凭借着自己对这节课的深入思考而作出一一回应的话，然而四川成都的那节课后，学生给出的如下评价，无疑给了我最深沉的一击：“……有些时候，我不知道老师你究竟想要我们干什么？ ”是呀！ 数学教育，不仅仅只关乎数学，同是更应该关乎教育。更进一步的，教育的对象是人，是正在成长过程中的儿童，是一个个具有着特定认知水平、思维方式的个体。作为一门课程，数学终究只是个体获得教育的一种载体和途径而已，如果我们数学教育的眼中只有数学，而将没有了教育，没有了对我们的教育对象的准确把握与深刻了解，那么，数学教育总有一天会重新陷入教育者个体所谓的精彩独白与“自我秀”，而这，却不是我们所期待的好的数学教育。

回到这节课本身，一个更为一般的问题自然就展现在我们面前，那就是，数学课堂在权衡“数学”与“儿童”这一对具有普遍意义的矛盾上，究竟该有一个怎样辩证、理性的姿态？我以为，这恰是《交换律》一课所给予我的深刻的教训。